数列通项高考,高考数列求通项归纳

1.高一关于数列问题-求数列的通项公式的方法

2.如何求该数列的通项公式（关于n的函数）

3.高中数列递推公式求通项公式的8种方法例题

4.等差数列通项公式

5.常见8个数列的通项公式是什么？

6.数列公式

7.求等差数列的通项公式

求数列通项的几种方法

近年的高考中出现了给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式）求通项公式的问题.对于这类问题学生感到困难较大.本文以例子介绍这类问题求通项公式的初等方法和技巧，以供教学参考.

1、叠加法

数列有形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+……+f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an.

例1.在数列{an}中，a1=－1，an+1= an+2n，求an（n≥2）.

解：由条件，a2=a1+2×1,a3=a2+2×2……，an= an－1+n(n?0?1－1)，以上n－1个式子相加化简得：an?0?1?0?1=a1+n(n－1)=n?0?1?0?12－n－1.

2、叠乘法

数列有形如an=f(n)?6?1an－1的解析关系，而f(1)?6?1f(2)……f(n)的积是可求的，可用多式相乘法求得an.

例2．在数列{an}中， ≥2），求 .

解：由条件 an－1,

这n－1个式子相乘化简得：

.

3、待定系数法

数列有形如 、b为常数）的线性递推关系，可用待定系数法求得an.

例3．在数列{an}中， 求 .

解：在 的两边同加待定数 ，得 +（ －1）/3），令 得 数列{ 是公比为3的等比数列,

∴an =

4、分解因式法

当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.

例4．已知 数列 满足 （n∈ ），且有条件 ≥2）.

解：由得：

对n∈ ， 再由待定系数法得：

∴

5、求差法

数列有形如 的关系（非递推关系），可考虑用求差 后，再用其它初等方法求得

例5．设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，并且对于所有的自然数 与2的等差中项等于 与2的等比中项：

（1）写出数列 的前3项；

（2）求数列 的通项公式.

出题者的意图是：通过（1）问求出数列前3项再猜想出通项公式；（2）再用数学归纳法证明猜想正确.实际上用求差法求通项公式更简单.

解：（1）略

（2）由条件，得

即 ①

②

①－②得 ，

即

分解因式得

对于 ∈ ＞0，∴

∴ 是公差为4的等差数列，

6、倒数法

数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出

例6．设数列 满足 求

解：原条件变形为 两边同乘以 得 .

∵

∴

7、复合数列构成等差、等比数列法

数列有形如 的关系，可把复合数列化为等差数列或等比数列，再用其它初等方法求得

例7．在数列 中， 求

解：由条件

∴

∴ 再用多式相加法可得：

8、循环法

数列有形如 的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出

例8．在数列 中，

解：由条件

即

即每间隔6项循环一次.1998=6×333，

∴

9、开方法

对有些数列，可先求 再求

例9．有两个数列 它们的每一项都是正整数，且对任意自然数 、 、 成等差数列， 、 、 成等比数列，

解：由条件有：

由②式得： ③

④

把③、④代入①得： ，

变形得 ）.

∵ ＞0，∴ － .

∴ 是等差数列.因

∴ 故

高一关于数列问题-求数列的通项公式的方法

第n项的值an=首项+（项数-1）×公差。

an=am+(n-m)d ，若已知某一项am，可列出与d有关的式子求解an。

例如 a10=a4+6d或者a3=a7-4d。

前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2。

公差d=(an-a1)÷（n-1）（其中n大于或等于2，n属于正整数）。

项数=（末项-首项）÷公差+1。

末项=首项+（项数-1）×公差。

当数列为奇数项时，前n项的和=中间项×项数。

数列为偶数项，前n项的和=（首尾项相加×项数）÷2。

注意。

等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2[2]。注意： 以上整数。

如何求该数列的通项公式（关于n的函数）

求数列通项公式常用以下几种方法：

一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。

例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。

解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。

二、已知数列的前n项和，用公式

S1

(n=1)

Sn-Sn-1

(n2)

例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5

(A)

9

(B)

8

(C)

7

(D)

6

解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8

∴k=8

选

(B)

此类题在解时要注意考虑n=1的情况。

三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。

例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。

解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}

是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-=

-，Sn=

-，

再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，

-

(n=1)

-

(n2)

四、用累加、累积的方法求通项公式

对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。

例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式

解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an

≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴

-=-，

又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)

五、用构造数列方法求通项公式

题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有

an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。

例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……

(1)求{an}通项公式

(2)略

解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝

(--1)(an--)

∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。

由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--)

，于是an=(--1)n-1(2--)+-

又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。

证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n)

(q为非0常数)

由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，

所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。

若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。

又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略

解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1

高中数列递推公式求通项公式的8种方法例题

数列知识是高考中的重要考察内容,而数列的通项公式又是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口,关键点.故将求数列通项公式的方法做一总结,希望能对广大考生的复习有所帮助.下面就谈谈求数列通项公式的几种方法：

1、类型1

解法：把原递推公式转化为?，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列?满足?，?，求?。

解：由条件知：?

分别令?，代入上式得?个等式累加之，即?

所以?，?，?

2、类型2

解法：把原递推公式转化为?，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列?满足?，?，求?。

解：由条件知?，分别令?，代入上式得?个等式累乘之，即

又?，?

例:已知?，，求?。

解：?

3、类型3（其中p，q均为常数，?）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：?，其中?，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列?中，?，?，求?.

解：设递推公式?可以转化为?即?.故递推公式为?,令?，则?,且?.所以?是以?为首项，2为公比的等比数列，则?,所以?.

变式:递推式：?。解法：只需构造数列?，消去?带来的差异．

4、类型4（其中p，q均为常数，?）。 （或?,其中p，q,? r均为常数）?。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以?，得：?引入辅助数列?（其中?），得：?再待定系数法解决。

例:已知数列?中，?,?，求?。

解：在?两边乘以?得：?

令?，则?,解之得：?所以?

5、类型5?递推公式为?（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为?其中s，t满足?

例:已知数列?中，?,?,?，求?。

解：由?可转化为?

即或?

这里不妨选用?（当然也可选用?，大家可以试一试），则?是以首项为?，公比为?的等比数列,所以?,应用类型1的方法，分别令?，代入上式得?个等式累加之，即?又?，所以?。

6、类型6?

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为?。

例：已知数列｛an｝满足：?，求数列｛an｝的通项公式。

解：取倒数：是等差数列，

等差数列通项公式

参见我对的回答：

题:数列中，a1=1,a2=2,

a(n+2)=-a(n+1)+2an

（a后的括号代表下标）求an通项

引:

一般书上讲到特征(方程)根(值)法,发生函数(母函数,生成函数)法,差分方程法,大都只讲其然而不讲其所以然.其实,很容易理解的.

高中课程中,主要讲等差数列,等比数列;复杂的问题,也通过转化为这两者来解决.我们可以看到,其递推式:an=a(n-1)+d;an=qa(n-1),均是一阶递推关系(阶数:即式中未知项的下标差),其一般形为an+xa(n-1)+y=0.

可以通过简单的转化,求得an+xa(n-1)+y=0型递推关系的解,即求得通项an.

关于此，请见下文（&&&）

对于二阶递推式,可以转化为一阶关系来求解.这正与我们研究二次方程时将它转化为两个一次方程一样.正鉴于此,人们在此基础上进一步总结,最后脱离了转化过程,象下围棋的定式一般,总结到了方法,得到了公式,于是就有了特征根法,等等.

解:

构造等式:

a(n+2)-xa(n+1)-y(a(n+1)-xan)=0(***)

即:a(n+2)-(x+y)a(n+1)+xyan=0

与a(n+2)+a(n+1)-2an＝0比较可知:

x,y是方程zz+z-2=0的两根.

(***)式说明:a(n+2)-xa(n+1)是公比为y的等比数列;

于是

a(n+1)-xan=函数f(n)=y^(n-1)(a2-xa1)

(###1)

再构造f(n)=g(n+1)-xg(n)

,从而取an=g(n).

下面另做一个实例（@@@）说明

另外,根据x,y的对称性,

可将(***)式等效转化为

a(n+2)-ya(n+1)-x(a(n+1)-yan)=0(***)

也即:a(n+2)-ya(n+1)是公比为x的等比数列.

于是当x,y不等时,还可得到

a(n+1)-yan=x^(n-1)(a2-ya1)

(###2)

由###1,2两式可以方便地得到an.

在这里,我们可以总结出经验,

an形如ax^n+by^n,系数a,b除可由上面###1,2两式直接得到之外,

但我们既然已经知道了an形如ax^n+by^n

用初始两项a2=ax^2+by^2,a1=ax+by求得则更快.

这便是待定系数法了.

又例：

已知：xa(n)＝ya(n-1)＋z

（*1）

问：如何构造出等比数列，从而求出通项a(n)

解：设xa(n)-u=v(xa(n-1)-u)

（*2）

与xa(n)＝ya(n-1)＋z比较，得

vx＝y，u-uv＝z

解之得：v＝y/x，u＝z/(1-v)＝xz/(x-y)

拓展：

style="font-size: 18px;font-weight: bold;border-left: 4px solid #a10d00;margin: 10px 0px 15px 0px;padding: 10px 0 10px 20px;background: #f1dada;">常见8个数列的通项公式是什么？

等差数列通项公式：an=a1+（n-1）*d，其中n是项数。

另外，若首项a1=1，公差d=2。前n项和公式为Sn=a1*n+[n*（n-1）*d]/2或Sn=[n*（a1+an）]/2。注意，以上n均属于正整数。

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的其他推论：

① 和=（首项+末项）×项数÷2。

②项数=（末项-首项）÷公差+1。

③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）。

④末项=2x和÷项数-首项。

⑤末项=首项+（项数-1）×公差。

⑥2（前2n项和-前n项和）=前n项和+前3n项和-前2n项和。

数列公式

常见8个数列的通项公式是等差数列、等比数列、一阶数列、二阶数列、累加法、累乘法、构造法、连加相减法。

分别如下:

等差数列：对于一个数列{ an}，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差，记为 d ；从第一项 a1到第n项 an的总和，记为Sn。通项公式为：an=a1+(n-1)*d。

等比数列：对于一个数列 {an}，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比 q ；从第一项a1 到第n项an 的总和，记为Tn 。通项公式为an=a1*q(n-1)。

一阶数列：an=an-1 + d , 而等比数列的递推式为 an =an-1 * q ； 这二者可看作是一阶数列的特例。

故可定义一阶递归数列形式为： an+1= A *an + B ········ , 其中A和B 为常系数。那么，等差数列就是A=1 的特例，而等比数列就是B=0 的特例。

二阶数列：类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有an+2、an+1、an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形，可以先如此诠释二阶数列的简单形式。

累加法：递推公式为a(n+1)=an+f(n)。

累乘法：递推公式为a(n+1)/an=f(n)。

构造法：将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列。

连加相减法：{an}满足a?+ 2a?+ 3a?+……+ nan = n(n+1)(n+2)。

求等差数列的通项公式

1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn= Sn=

三、高中数学中有关等差、等比数列的结论

1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。

2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则

3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。

5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an bn}、 、 仍为等比数列。

7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)

11、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。

12、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。

求数列通项公式常用以下几种方法：

一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。

例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。

解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。

二、已知数列的前n项和，用公式

S1 (n=1)

Sn-Sn-1 (n2)

例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B)

此类题在解时要注意考虑n=1的情况。

三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。

例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。

解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-= -，Sn= -，

再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，

- (n=1)

- (n2)

四、用累加、累积的方法求通项公式

对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。

例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式

解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴ -=-，

又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)

五、用构造数列方法求通项公式

题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。

例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……

(1)求{an}通项公式 (2)略

解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)

∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。

由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-

又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。

证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)

由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，

所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。

若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。

又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略

解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1

一、 等差数列　如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。　等差数列的通项公式为：an=a1n+(n-1)d (1)　前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)　以上n均属于正整数。　　从(1)式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。　在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项，且为数列的平均数。　　且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d　它可以看作等差数列广义的通项公式。　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。　　和＝（首项＋末项）×项数÷2　项数＝（末项-首项）÷公差＋1　首项=2和÷项数-末项　　末项=2和÷项数-首项　　末项=首项+（项数-1）×公差　　等差数列的应用：　　日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别　　时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。　　若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。　　3．等差数列的基本性质　⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．　⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．　⑶若、为等差数列，则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．　⑷对任何m、n ，在等差数列中有：a = a + (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．　⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当为等差数列时，有：a + a + a + … = a + a + a + … ．　⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．　⑺如果是等差数列，公差为d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为－d；在等差数列中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )　⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．　⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．　⑽设a 1，a 2，a 3为等差数列中的三项，且a1 与a2 ，a 2与a 3的项距差之比 = d（ d≠－1），则2a2 = a1+a3．