高考全国卷一理科数学答案_高考一卷理数答案

1.解析几何之目~用点差法破解：2020年理数全国卷A题20

2.谁有09年福建省理科高考数学卷的选择题及答案。

3.8.2016北京高考理数试题，袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个

4.2010年高考全国一卷理数，选择题，填空题答案

20.?(本题满分13分)本题共有2个?小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。

已知数列?的前项和为?，且?，?

（1）证明：?是等比数列；

（2）求数列?的通项公式，并求出n为何值时，?取得最小值，并说明理由。

解析：(1)?当n?1时，a114；当n≥2时，an?Sn?Sn?15an?5an?1?1，所以?，

又a1?115≠0，所以数列{an?1}是等比数列；

(2)?由(1)知：?，得?，从而?(n?N*)；

解不等式Sn<Sn?1，得?，?，当n≥15时，数列{Sn}单调递增；

同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n?15时，Sn取得最小值．

详细见下图：

解析几何之目~用点差法破解：2020年理数全国卷A题20

2021年的高考即将开始，在高考所有科目中，数学是最让人紧张的一门。一旦考完数学便有很多同学想对答案，来预估自己能考多少分。本期我就为山西考生整理了2021年山西高考理科数学全国乙卷答案解析（含完整试题），供大家参考。

一、2021山西高考数学真题及答案解析

二、志愿填报参考文章

2021年顶尖211大学(非985)文科-几个顶尖211大学

2021年高考生有多少人?2021年高考落榜可以复读吗?

二本最低的师范大学理科公立2021年参考(含河南、湖南等省份)

谁有09年福建省理科高考数学卷的选择题及答案。

标签： 高中数学 高考真题 解析几何 数学思想与方法 点差法

已知 分别为椭圆 的左、右顶点， 为 的上顶点， . 为直线 上的动点， 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 .

(1) 求 的方程；

(2) 证明：直线 过定点。

解答第1问

先来解答基础性的第1问。

依题意可知： 三个点的坐标为： 代入题设条件可得：

的方程为：

第2问分析

解答高考数学题，有两条基本的路线（方向）：其一，是向某些基本的模型（题型）靠拢；其二，是从基本的思想和方法出发进行分析。

本题我们采用路线二来解决，并用“自问自答”的方式来展示分析过程。

： 本题中有哪些对象？对象之间有何关联？

： 本题中，基本的对象有椭圆、直线、椭圆的弦。 是直线 上的动点；而 是椭圆上的定点。

： 如何证明一条直线过定点？

： 如果一个定点的坐标始终满足一个直线族（动直线的集合）的方程，则这个定点始终在这些变动的直线上；则直线过这个定点。

如果方程可以写成： ，则定点在 轴上，其坐标为 .

如果方程可以写成： ，则定点在 轴上，其坐标为 .

相对而言，多数人对第一种形式较为熟悉；而对第二种形式就生疏一些。命题人有时就在这点上作文章。

： 从几何角度分析，能够得出哪些结论？是否可以猜出定点的大致位置？

： 从对称性的角度考虑问题。 轴是椭圆 和直线 公共的对称轴。因此，对于直线 上的任一点 , 其关于 轴的对称点 也在这条直线上。

顺首这条思路往下走：假如我们把 换成 ，那么，直线 也就换成了 . 注意 和 是关于 轴对称的两条直线，它们的公共点必定在 轴上。

因此，本题中的定点一定在 轴上。这是一个重要的阶段性结论。可以帮助我们简化后面的计算。

： 从代数的角度分析，可以得出哪些结论？哪些量是已知的？哪些量是未知？哪些量是变化的？变化的量之间存在什么关联？

： 本题中，椭圆的方程已知（第1问的结论）；点 是已知的定点； 是动点；

直线 是已知的定直线； 则是动直线。

注意： 这几个点都在椭圆上。所以，本题中可以找出多条椭圆的弦：

椭圆的弦是高中解析几何的重要研究对象。它具有以下性质：

： 椭圆的弦的性质：椭圆的弦的斜率与其中点的坐标存在一个简洁的联系。对于以原点为对称中心的椭圆，可以用公式表达如下： 或者：

上式中， 为弦 的中点； 代表原点。

这个性质，并不是定理，但是使用平方差法（又称点差法）可以迅速地推导得出，可以称为常用结论。在高考中，这个常用结论出现了多次。合理地猜想：这个性质对于解决眼前的问题也能发挥作用。

以上关系，对于本题中出现的众多的弦都是有效的。

由于 （也就是 ） 是椭圆的弦，根据弦的斜率就可以求出弦的中点。

同理，根据直线 的斜率，可以求出点 的坐标。

注意： 都是椭圆上的点，过这四点的弦有多条。这些弦的中点坐标存在联系。

是椭圆的长轴，其中点为原点 . 对于另外的几个中点可命名如下：记 中点为 , 记 中点为 , 记 中点为 ; 几个中点的坐标存在以下关系：

因此，如果有了 两点的坐标，就可以方便地求出点 的坐标。

如果算出点 的坐标，就可以求出直线 的斜率，并写出这条直线的点斜式方程。

如果求出直线 的方程，就可以算出所过定点的坐标，从而完成证明。

那么，直线 的斜率是多少呢？回答是：取决于动点 的坐标。这个坐标比较简单，只有一个变量，可以设为

借用函数及映射的符号，以上关系可以总结如下：

解题计划

理清以上关系之后，解答此题的路径（具体步骤）也就明确了：

1）引入参数 以表达动点 的坐标；

2）求直线 的斜率；

3）求中点 的坐标；

4）计算中点 的坐标；

5）计算直线 的斜率；

6）写出直线 的点斜式方程；

7）求出定点坐标；

解答第2问

因为椭圆 的方程为： ，若点 在该椭圆上，

则：

设点 坐标为： , 则直线 的斜率分别为：

1）当 ， 则点 分别与点 重合，直线 与 轴重合。

2）当 :

两直线的方程为：

记 中点为 , 记 中点为 , 记 中点为 ; 则有：

代入直线方程可求出两个中点的坐标：

由于 中点为原点，而 中点分别为： , 所以：

同理可得：

方程为：

方程可化为： ;

综上所述，对 , 直线 一定经过定点 . 证明完毕。

微操指南

作为高考压轴题，除了考查大的思路，命题人还会安排一些小的关卡和障碍，考验考生的综合实力。

本题的特点在于：点 的坐标较为复杂，会令一部分人望而生畏，就此止步。

对这个关卡，可以用以下思路破解。

点斜式方程的标准形式如下：

在前面的分析中，我们从对称性角度已经得出结论：定点在 轴上，其坐标形式为

所以，我们采用点斜式方程的以下变形：

代入前面的计算结果可得：

以上推导过程有一定复杂度。顺利完成类似任务的关键在于：经过开头的分析，我们已经知道定点在 轴上，所以我们相信：看起来十分复杂的分母和复杂的分子一定可以约分，最后化简为一个简单的形式。

这种“方向感”需要在平时培养。假如缺乏方向感，一味地强调熟练，是难以完成任务的。

提炼与提高

2017年理科数学全国卷一题20也是“定点问题”，但两题的解法是有区别的。请注意比较。

8.2016北京高考理数试题，袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个

2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（理工农医类）

一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数 最小值是

A．-1 B. C. D.1

1．答案：B

[解析]∵ ∴ .故选B

2.已知全集U=R，集合 ，则 等于

A． { x ∣0 x 2} B { x ∣0<x<2}

C． { x ∣x<0或x>2} D { x ∣x 0或x 2}

2．答案：A

[解析]∵计算可得 或 ∴ .故选A

3.等差数列 的前n项和为 ，且 =6， =4， 则公差d等于

A．1 B C.- 2 D 3

3．答案：C

[解析]∵ 且 .故选C

4. 等于

A． B. 2 C. -2 D. +2

4．答案：D

[解析]∵ .故选D

5.下列函数 中，满足“对任意 ， （0， ），当 < 时，都有 >

的是

A． = B. = C . = D

5．答案：A

[解析]依题意可得函数应在 上单调递减，故由选项可得A正确。

6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A．2 B .4 C. 8 D .16

6．答案：C

[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C

7.设m，n是平面 内的两条不同直线， ， 是平面 内的两条相交直线，则 // 的一个充分而不必要条件是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.m // 且l // B. m // l 且n // l

C. m // 且n // D. m // 且n // l

7．答案：B

[解析]若 ，则可得 .若 则存在

8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动

员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，

指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为

A．0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15

8．答案：B

[解析]由随机数可估算出每次投篮命中的概率 则三次投篮命中两次为 0.25故选B

9.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，

a c ∣a∣=∣c∣,则∣b ? c∣的值一定等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A． 以a，b为两边的三角形面积 B 以b，c为两边的三角形面积

C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D 以b，c为邻边的平行四边形的面积

9．答案：C

[解析]依题意可得 故选C.

10.函数 的图象关于直线 对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程 的解集都不可能是

A. B C D

10. 答案：D

[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程 中 分别赋值求出 代入 求出检验即得.

第二卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。

11.若 （i为虚数单位， ）则 _________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

11. 答案：2

解析：由 ，所以 故 。

12．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清。若记分员计算无误，则数字 应该是___________

12. 答案：1

解析：观察茎叶图，

可知有 。

13.过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则 ________________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

13. 答案：2

解析：由题意可知过焦点的直线方程为 ，联立有 ，又 。

14.若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 取值范围是_____________.

14. 答案：

解析：由题意可知 ，又因为存在垂直于 轴的切线，

所以 。

15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.

15. 答案：5

解析：由题意可设第 次报数，第 次报数，第 次报数分别为 ， ， ，所以有 ，又 由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。

三解答题w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

16.（13分）

从集合 的所有非空子集中，等可能地取出一个。

（1） 记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；

（2） 记所取出的非空子集的元素个数为 ，求 的分布列和数学期望E

16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A

基本事件总数n= =31

事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4}

事件A包含的基本事件数m=3

所以

（II）依题意， 的所有可能取值为1，2，3，4，5

又 ， ，

，

故 的分布列为：

1 2 3 4 5

P

从而E +2 +3 +4 +5

17（13分）

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形， ，

，且MD=NB=1，E为BC的中点

（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值

（2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES 平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标

依题意，得 。

，

所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .A

（2）假设在线段 上存在点 ，使得 平面 .

,

可设

又 .

由 平面 ，得 即

故 ，此时 .

经检验，当 时， 平面 .

故线段 上存在点 ，使得 平面 ，此时 .

18、（本小题满分13分）

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动

赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数

y=Asin x(A>0, >0) x [0,4]的图象，且图象的最高点为

S(3，2 )；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛

运动员的安全，限定 MNP=120

（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；

（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，

解法一

（Ⅰ）依题意，有 ， ，又 ， 。

当 是，

又

（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，

设∠PMN= ，则0°< <60°

由正弦定理得

,

故

0°< <60°， 当 =30°时，折线段赛道MNP最长

亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理得 ∠MNP=

即

故

从而 ，即

当且仅当 时，折线段道MNP最长

注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：① ；② ；③点N在线段MP的垂直平分线上等

19、（本小题满分13分）

已知A,B 分别为曲线C： + =1（y 0,a>0）与x轴

的左、右两个交点，直线 过点B,且与 轴垂直，S为 上

异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧 的三等分点，试求出点S的坐标；

（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在 ,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

19.解析

解法一：

(Ⅰ)当曲线C为半圆时， 如图，由点T为圆弧 的三等分点得∠BOT=60°或120°.

(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.

又AB=2,故在△SAE中,有

(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为 ,综上,

(Ⅱ)假设存在 ,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SB为直线的圆上,故 .

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为 .

由

设点

故 ,从而 .

亦即

由 得

由 ,可得 即

经检验,当 时,O,M,S三点共线. 故存在 ,使得O,M,S三点共线.

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SO为直径的圆上,故 .

显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为

由

设点 ,则有

故

由 所直线SM的方程为

O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即 .

故存在 ,使得O,M,S三点共线.

20、（本小题满分14分）

已知函数 ,且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1) 试用含 的代数式表示b,并求 的单调区间；

（2）令 ,设函数 在 处取得极值，记点M ( , )，N( , )，P( ), ,请仔细观察曲线 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m ( , x )，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

20.解法一:

(Ⅰ)依题意,得

由 .

从而

令

①当a>1时,

当x变化时， 与 的变化情况如下表：

x

+ － +

单调递增 单调递减 单调递增

由此得，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 。

②当 时， 此时有 恒成立，且仅在 处 ，故函数 的单调增区间为R

③当 时， 同理可得，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为

综上：

当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；

当 时，函数 的单调增区间为R；

当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 .

(Ⅱ)由 得 令 得

由（1）得 增区间为 和 ，单调减区间为 ，所以函数 在处 取得极值，故M（ ）N（ ）。

观察 的图象，有如下现象：

①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线 在点P处切线的斜率 之差Kmp- 的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－ 的m正负有着密切的关联；

③Kmp－ =0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－ 的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线 在点 处的切线斜率 ；

线段MP的斜率Kmp

当Kmp－ =0时，解得

直线MP的方程为

令

当 时， 在 上只有一个零点 ，可判断 函数在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，所以 在 上没有零点，即线段MP与曲线 没有异于M，P的公共点。

当 时， .

所以存在 使得

即当 MP与曲线 有异于M,P的公共点

综上，t的最小值为2.

（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为

解法二：

（1）同解法一.

（2）由 得 ，令 ，得

由（1）得的 单调增区间为 和 ，单调减区间为 ，所以函数在处取得极值。故M( ).N( )

(Ⅰ) 直线MP的方程为

由

得

线段MP与曲线 有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数

上有零点.

因为函数 为三次函数,所以 至多有三个零点,两个极值点.

又 .因此, 在 上有零点等价于 在 内恰有一个极大值点和一个极小值点,即 内有两不相等的实数根.

等价于 即

又因为 ,所以m 的取值范围为(2,3)

从而满足题设条件的r的最小值为2.

21、本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，

（1）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

已知矩阵M 所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l:3x+4y-12=0与圆C: ( 为参数 )试判断他们的公共点个数

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

21.

(1)解:依题意得

由 得 ,故

从而由 得

故 为所求.

(2)解:圆的方程可化为 .

其圆心为 ,半径为2.

(3)解:当x<0时,原不等式可化为

又 不存在;

当 时,原不等式可化为

又

当

综上,原不等式的解集为

2010年高考全国一卷理数，选择题，填空题答案

空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

答案B

解：每次操作只有可能发生下列4种情形中的一种：

1.甲盒中放人红球，乙盒中放入黑球；

2.甲盒中放入黑球，丙盒中放入红球；

3.甲盒中放入红球，乙盒中放入红球；

4.甲盒中放入黑球，丙盒中放人黑球．

由于袋中的红球和黑球一样多，因此情形3和情形4出现的次数必然一样多，于是可得乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B．

只发生情形1即为选项A,D的反例，

只发生情形2即为选项C的反例．

1A 2B 3B 4A 5B

6A 7D 8C 9B 10A

11D 12B

13 [0,2]

14 -1/7

15 (1 ,5/4)

16 2/3