高考函数零点问题,高考函数零点问题题目

1.高中数学函数零点

2.高数题求解（零点问题）

3.求函数零点个数的方法

4.数学零点问题？

5.零点问题

∵f(x)是定义域为R的奇函数，

∴一定有f(0)=0;

又∵f(x)是定义域为R的周期为3的函数，

∴一定有f(3k)=0;k为整数.

当x∈(0,1.5)时令f(x)=ln(x2-x+1)=0

则:x2-x+1=1;

解得x=0或x=1.在x∈(0,1.5)时有1个零点.

f(x)是奇函数，则在区间x∈(-1.5,0)时有1个零点.

根据周期性,则在区间x∈(1.5,3)时有1个零点.在区间x∈(1.5,3]时有2个零点.

在区间x∈(0,3]时有3个零点.

那么,在区间(0,6]上有3×2=6零点;则在区间[0,6]上的零点个数是6+1=7.

高中数学函数零点

函数零点的存在定理及应用如下：

一、函数的零点的存在定理

1、函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点。因此，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

这里要特别注意，函数零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标。与此相似的一个概念是导数的极值点，同样也不是一个“点”，而是函数取得极值时的x值。它们是高中阶段中仅有的两个不是点的“点”。

2、函数有零点的几个等价关系

根据上述定义，可得到以下几个等价关系，即函数y＝f(x)有零点 ， 方程f(x)＝0有实数根 ， 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点。

零点存在性定理和数形结合的思想是解决零点问题的关键，接下来回顾一下这两个重要知识点。

3、函数的零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a, b)内有零点，即存在c∈(a, b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。

二、函数零点的应用

1、方程的求解

函数的零点在求解方程中有很重要的作用。通过求解f(x)=0，可以将一个方程转化为一个函数的零点问题，从而可以利用函数零点的性质来解决方程。例如，求解一元二次方程ax^2+bx+C=0可以转化为求解函数f(x)=ax^2+bx+c的零点问题。

2、函数图像的描绘

函数的零点是函数图像与x轴相交的点，因此可以通过求解函数的零点来确定函数图像的交点。通过绘制函数的零点，可以更加清晰地了解函数的增减性、拐点、极值等信息。

3、函数的性质研究

函数的零点在研究函数的性质时也十分重要。例如，利用函数的零点可以确定函数的单调性、凸性、拐点等特点。同时，零点还可以用来确定函数的定义域和值域。

4、最优化问题的求解

在最优化问题中，常常需要求解函数的最大值或最小值。通过求解函数的零点和极值点，可以确定函数的极值点，并判断其是最大值还是最小值。这些极值点的求解对于优化问题的求解至关重要。

判断函数的导数的零点

1、找到函数的导数表达式

对于一个函数 f(x)，它的导数可以表示为 f'(x) 或 dy/dx。

2、解方程 f'(x) = 0

找到导数的零点。这些零点即为原函数 f(x) 的可能的极值点或拐点。

3、在导数的零点之间进行导数的符号判断

选择每个零点之间的测试点，将其代入导数表达式 f'(x) 中，然后判断结果的正负。如果导数在两个相邻零点之间的某个测试点上是正数，那么原函数在这两个零点之间是递增的；如果导数在测试点上是负数，那么原函数在这两个零点之间是递减的。

4、根据递增和递减的区间，判断原函数的零点个数

原函数的零点个数就等于递增和递减的区间数目减去存在的极值点或拐点的个数。

高数题求解（零点问题）

零点的定义是：使y=f(x)中f(x)=0的那个x就叫做这个函数的零点。

函数y=f(x)有零点 等价于

函数y=f(x)与x轴有交点 等价于

方程f(x)=0有实数根

注意零点不是坐标，而是使函数值y等于零的那些自变量x的值。

求函数零点个数的方法

函数在一个严格单调的区间上最多有一个零点，若函数f(x)在[a,b]上严格单调，且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点。对于一般的函数，求零点的方式是先求其导数，判断函数的单调区间分别是什么，然后再判断单调区间的两个端点的函数值，若两个端点的函数值异号，则有一个零点。

按照这个说法，要有三个零点，那么至少要有三个单调区间，且每个区间的两个端点的函数值均异号。比如f(x)=x^3-x

数学零点问题？

是函数 ? 时 ? 的取值.在函数图象上即是 ? 图象与 ? 交点横坐标.

所以我们求零点，可以从两方面入手：①求 ? 的解；②求 ? 图象横截距.

我们看一下有哪些具体方法：

①解方程：通过解方程 ? 得到零点；

②数形结合：这是经常用到的分析方法，特别是选填题中得到广泛应用；

③零点存在定理：用零点存在定理来确定某区间是否有零点，这是解答题中的重要方法；

④求零点个数：求零点个数时，就要判断每个单调区间，同时还要判断个单调区间的零点存在性.

而具体解答题的过程中，我们也会遇到函数较复杂，先将复杂问题转化为简单问题，再选择合适的方法来求零点.

我们来看一个具体的例子.

例1（2018全国2卷文数21-2）已知函数?，

证明： ? 只有一个零点.

分析 ? 是一个含参的三次函数，貌似是一个三次函数求零点个数问题，但是带着参数问题就变复杂了，所以这个时候可以转化一下，分离参数为求： ? 的解个数问题.进一步转化为函数?的零点个数问题.

解析因为 ? 恒成立.所以 ? 零点个数等价于函数函数?的零点个数问题.

先判断 ? 单调性，用导数法： ? ,

当且仅当 ? 时 ? ,

又因为 ? , ? ,

所以 ? 恰有一个零点.

小结分离参数读者们应该还好理解，为什么要选择 ? 就是一脸懵了.这属于找点的内容（内点定理），我们后面专门花章节来讲解这个内容.我们还是先理解零点存在定理的应用.

本节我们重点讲解求零点个数问题的求法，近年高考也是热点题型，也是我们零点问题将面临的重点问题.

例2（2019全国2卷理数20-1改编）已知函数 ? ,求 ? 的零点个数.

分析求零点个数问题，我们要求函数的单调区间，然后判断每一个单调区间的零点存在性.

解析 ? 定义域为 ? ，而 ? ,

由和差法： ? 和 ? 在?上都是单调递增了，

所以 ? 在?单调递增；

在 ? 上 ? 单调递增，当 ? 时， ? ，

当 ? 时， ? ，

由零点存在定理和单调性， ? 在 ? 有唯一零点，

零点问题

答：1.零点的定义：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即f(a)·f(b)≤0，则在区间[a,b]内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一个实数解；

2.f(a)·f(b)≤0是关键点，高考选择题，讲究快速计算，寻求各种技巧，考察学生对某些数学定义的掌握情况，不一定要解出函数的解，而是需要知道大致的范围；

3.7.8两题，只要分别将区间的上下限代入函数，将两个函数值相乘，看是否小于零就好，小于零就是正确答案；

4.有些答案可能有连个都能得到f(a)·f(b)≤0，娶区间最小那个；

函数f（x）在［0，4］上的图像是连续不断的曲线，则函数f(x)在(0，4)上有且仅有一个零点是f(0)*f(4)<0的什么条件？！

解：函数f(x)在［0，4］上的图像是连续不断的曲线，则函数f(x)在(0，4)上有且仅有一个零点是f(0)*f(4)<0的充分不必要条件。

先证充分性：若函数f(x)在闭区间[0，4]上连续，且在开区间(0，4)上有且仅有一个零点，则f(x)的

图像必然穿过x轴一次，且仅有一次，因此f(0)与f(4)必异号，故必有f(0)f(4)<0，于是充分性成立；

但若f(0)f(4)<0，只能说明f(0)与f(4)异号，但不能保证f(x)的图像在开区间(0，4)内只穿过x轴一次，比如穿过三次：f(0)>0，f(1)=f(2)=f(3)=0，f(4)<0，这时仍有f(0)f(4)<0；故必要性不成立。