立体几何高考真题小题及答案_立体几何高考大题

1.高中数学求2010课标全国卷高考立体几何题 求几何解法，不要向量解法

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定∶多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如∶正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为 .

（1）求四棱锥的总曲率;

（2）若多面体满足∶ 顶点数-棱数+面数=2，证明∶ 这类多面体的总曲率是常数.

解答第1问

四棱锥有5个顶点和5个面，其中1个四边形，4个三角形，其面角总和 =

总曲率=

解答第2问

如图所示，对于平面上的n边形，在多边形内任取一点Q，可以将其拆分为n个三角形。因为任意三角形的内角之和等于180度，所以，这些三角形的内角之和等于： ; 由于在点Q处还有一个 角，所以，n边形的内角之和等于： ，也就是: .

对于多面体的每个面依法炮制，可得三角形的数量 = 棱数 × 2

可得 角的数量 = 面数

按照曲率公式，

总曲率 = 顶点数 - (棱数 - 面数 ) = (顶点数-棱数+面数)

证明完毕.

回归教材

多边形的内角和是几何学的一个基本问题，人教版《数学-八年级上册》（第21页）第11章 §11.3.2 的标题即为：《多边形的内角和》

可见，本题考查的属于：基本概念和基本方法。

提炼与提高

为什么有好多学生感觉这个题很难？原因在于：它太基本了，在经过大量的、重复性的机械的训练之后，学生已经不会用基本的方法解决问题。遇到这样和所有『题型』都不靠的问题，就无从下手。

为了成功解答本题，考生要过几关：

1）读懂题目，关键是在几分钟内理解一个新的概念：多面体的曲率。

2）掌握多边形内角和公式的推导过程，而不仅仅是结论。

3）经过观察和归纳，得出结论：三角形的数量=棱数×2. 这点并不难，但现实中就是有人做不到。

多年来，中学数学的教学存在一种理论与实践脱节的倾向：专家们不断强调数学思想和方法；中学教师一直在带着自己的学生拼命刷题。

八省联考数学卷，向大家传递了这样一个信号：命题人办法是很多的。在对高考制度不进行大变的前提下，加强对于学生能力的考查，是完全可以做到的。

对于备考的学生和教师来说，我的建议是：

1）多思考，多总结；切忌盲目做题。

2）花点时间读读教科书，包括初中和高中的教科书，会用到的。

高中数学求2010课标全国卷高考立体几何题 求几何解法，不要向量解法

文科数学高考立体几何大题不能用空间向量解，那道题主要就是考察空间向量的。

数学上，立体几何(Solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。一般作为平面几何的后续课程。立体测绘(Stereometry)处理不同形体的体积的测量问题：圆柱，圆锥， 锥台，?球，棱柱，?楔，?瓶盖等等。?毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。

尤得塞斯(Eudoxus)建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。

我来帮你解，

做辅助线：延长EH交BC与点F。

∵EH是直角△EAD中线，

∴DE=EA=EH，

∴∠EDH=∠DHE，∵∠EHD=∠BHF，∴∠ADH=∠BHF

又∵四边形是等腰梯形，∴∠DAC=∠DBC

∴△DAH≌△BHF，

∴EF⊥BC

又∵PH⊥面ABCD，∴PH⊥BC，

∴面PEF⊥BC，

∴PE⊥BC.

设AB=x，过A点做BC的平行线延长EF交于点H。

∵面PEF⊥BC，∴AG⊥面PEF，

∴即求角APG的正弦

由题意得AG=√2x/4，AH=√2x/2，PA=x，PH=√2x/2，GH=√6x/4,PG=√PH^2+GH^2=√14x/4,

sin∠APG=√7/7.