高考立体几何真题_高考立体几何真题汇编

圆锥高为h=1/2，底面半径为r=√3 /2

设某切面底边与底面圆心距离为a，则：

切面（三角形）的底边长为2√(r^2-a^2)

切面的高为：√(h^2+a^2)

切面面积=√(3/4-a^2) x √(1/4+a^2) = √（1/4-(a^2+1/4)^2）

显然，当a=0时取最大值，面积为√3 /4

第一个图===================

第一题,

(1)因为PA垂直底面,AC就是PC的垂直投影

又因DC垂直AC,即DC垂直于PC的投影,则DC垂直PC

同时根据线垂直平面的两个线,则DC垂直平面PAC

所以垂直于任何一个PAC上的任何直线,故DC垂直于AE

(2)因为∠ABC=60°,AB=BC 所以△ABC是等边,

所以AC=AB=PA,所以△PAC等腰直角三角形(直角也容易证明,但这里不需要直角条件)

所以AE垂直PC

显然因为DC垂直PC的投影AC,所以DC垂直PC,扩展为DC垂直于三角形PAC

所以DC垂直三角形PAC上所有直线,包含AE

又因AE垂直PC,所以AE垂直DC和PC形成的平面即PCD

所以AE垂直PCD上任何直线

做DC中点设为F,连接EF,有AE垂直EF

由于E和F都是中点,所以EF//PD

所以AE垂直PD

又因PD垂直AB(也是根据面线三垂,PA,AB,AD三者推导出来,过程不证)

所以PD垂直于AE和AB形成的平面ABE 得证

第二题实际上是第一题第二小题的答案

只不过是求二面角的角度余弦值

在BE取Q,使得AQ垂直BE CQ垂直BE

这∠AQC就是此二面角

为了简化线段长度描述与一定比例,令AB=BC=AC=PA=1

首先由A是P的投影,可证明PB=PC =√2 则AE=CE=√2/2

∠PCB的余弦值=1/(2√2) 就是BC的一半/PC

∠PCB的正弦值=√(7/8)

做EH垂直BC于H

则EH=EC*√(7/8) =√7 /4 CH=EC*1/(2√2) =1/4

所以BH=3/4 BE=(BH^2+EH^2)^(1/2)=1

确定三角形ABE线段长度关系 AB=BE=1 AE=√2/2后

就容易用等面积法求BE上的高AQ或Q的位置

不难得到EQ=1/4 AQ=√7 /4

再根根据三角形AQC线段关系,利用等面积法,最后得到∠AQC的余弦值=1/7

第二个图======================

第一题,最简单的方式就是做整个直三棱柱的原点对称镜像,对称原点是A1C的中点称为O

明显现有相互重合的对称点有A对C1,A1对C

额外作出的有 对称B的对称点为B' B1的对称点B1' D的对称点D'

则连接AB' 连接DD'一定有AB'//BC1//DD'

且DD'必过对称点O,DO是三角形A1DC上的线段

平行于线,必平行于线所在面,所以BC1//A1CD

第二题

根据底面的三个边长度,可以求得面积,不难,何况明显看出是等腰直角三角形面积=2*2/2=2

则体积是底面积乘以高=2*2=4

第三题

各个小题都很奇怪没有像第二题一样的假设长度无法计算啊