2009年高考数学试卷理科_2009年高考数学试卷

很多高三同学认为，数学高考试卷的最后一题压轴题很难拿分，往往在答题前，就已经先入为主地认为做不出是意料之内的事情，以至于很多考生在压轴题上得分都很低，这是非常可惜的。

首先同学们要正确认识压轴题。压轴题主要出在函数，解几，数列三部分内容，一般有三小题。记住：第一小题是容易题！争取做对！第二小题是中难题，争取拿分！第三小题是整张试卷中最难的题目！也争取拿分！

其实对于所有认真复习迎考的同学来说，都有能力与实力在压轴题上拿到一半左右的分数，要获取这一半左右的分数，不需要大量针对性训练，也不需要复杂艰深的思考，只需要你有正确的心态！信心很重要，勇气不可少。同学们记住：心理素质高者胜！

以2009年的上海高考数学卷的压轴题为例，分析其中一半左右分值的易得分部分，谈一谈解题心态。同学可以再做一下2010年的高考卷最后一题，或者今年二模卷的最后一题，能否拿到比以往更多的分数。

2009年高考数学上海卷23题：

第二重要心态：千万不要分心。

其实高考的时候怎么可能分心呢？这里的分心，不是指你做题目的时候想着考好去哪里玩。高考时，你是不可能这么想的。你可以回顾高三以往考试，问一下自己：在做最后一道题目的时候，你有没有想最后一道题目难不难？不知道能不能做出来我要不要赶快看看最后一题，做不出就去检查前面题目前面不知道做的怎样，会不会粗心错这就是影响你解题的分心，这些就使你不专心。

第三重要心态：重视审题。你的心态就是珍惜题目中给你的条件。数学题目中的条件都是不多也不少的，一道给出的题目，不会有用不到的条件，而另一方面，你要相信给出的条件一定是可以做到正确答案的。所以，解题时，一切都必须从题目条件出发，只有这样，一切才都有可能。

在数学家波利亚的四个解题步骤中，第一步审题格外重要，审题步骤中，又有这样一个技巧：当你对整道题目没有思路时，步骤(1)将题目条件推导出新条件，步骤(2)将题目结论推导到新结论，步骤(1)就是不要理会题目中你不理解的部分，只要你根据题目条件把能做的先做出来，能推导的先推导出来，从而得到新条件。步骤(2)就是想要得到题目的结论，我需要先得到什么结论，这就是所谓的新结论。然后在新条件与新结论之间再寻找关系。一道难题，难就难在题目条件与结论的关系难以建立，而你自己推出的新条件与新结论之间的关系往往比原题更容易建立，这也意味着解出题目的可能性也就越大！

最高境界就是任何一道题目，在你心中没有难易之分，心中只有根据题目条件推出新条件，一直推到最终的结论。解题心态也应当是宠辱不惊，不以题目易而喜，不以题目难而悲，平常心解题。

最后还有一点要提醒的是，虽然我们认为最后一题有相当分值的易得分部分，但是毕竟已是整场考试的最后阶段，强弩之末势不能穿鲁缟，疲劳不可避免，因此所有同学在做最后一题时，都要格外小心谨慎，避免易得分部分因为疲劳出错，导致失分的遗憾结果出现冷雪飞上海市澄衷高级中学

2010年提供高考答案人的QQ：646675471 1卷的数学希望能帮上你

一、选择题

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B，则集合 中的元素共有（A）

（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个

解： ， 故选A。也可用摩根律：

（2）已知 =2+i,则复数z=（B ）

（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i

解： 故选B。

(3) 不等式 ＜1的解集为（ D ）

（A）｛x (B)

（C） (D)

解：验x=-1即可。

(4)设双曲线 （a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )

（A） （B）2 （C） （D）

解：设切点 ，则切线的斜率为 .由题意有 又

解得: .

(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )

（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 种选法

(2) 乙组中选出一名女生有 种选法.故共有345种选法.选D

（6）设 、 、 是单位向量，且 ? ＝0，则 的最小值为 ( D )

（A） （B） （C） (D)

解: 是单位向量

故选D.

（7）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ D ）

（A） （B） （C） (D)

解：设 的中点为D，连结 D，AD，易知 即为异面直线 与 所成的角,由三角余弦定理，易知 .故选D

（8）如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为（A） （B） （C） (D)

解: 函数 的图像关于点 中心对称

由此易得 .故选A

(9) 已知直线y=x+1与曲线 相切，则α的值为( B )

(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

解:设切点 ，则 ,又

.故答案选B

（10）已知二面角 为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为 ，Q到α的距离为 ，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）

(A) (B)2 (C) (D)4

解:如图分别作

，连

，

又

当且仅当 ，即 重合时取最小值。故答案选C。

（11）函数 的定义域为R，若 与 都是奇函数，则( D )

(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数

解: 与 都是奇函数， ，

函数 关于点 ，及点 对称，函数 是周期 的周期函数. ， ，即 是奇函数。故选D

12.已知椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ，点 ，线段 交 于点 ，若 ,则 =( A )

(A). (B). 2 (C). (D). 3

解:过点B作 于M,并设右准线 与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意 ,故 .又由椭圆的第二定义,得 .故选A

第II卷

二、填空题：

13. 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于 。

解:

14. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则 = 。

解: 是等差数列,由 ,得

.

15. 直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积等于 。

解:在 中 , ,可得 ,由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为 .

16. 若 ，则函数 的最大值为 。

解:令 ,

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）

在 中，内角A、B、C的对边长分别为 、 、 ，已知 ，且 求b

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) ,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在 中 则由正弦定理及余弦定理有: 化简并整理得： .又由已知 .解得 .

解法二:

由余弦定理得:

.

又 , 。

所以 …………………………………①

又 ，

，

即

由正弦定理得 ，

故 ………………………②

由①，②解得 。

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。

18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， , ，点M在侧棱 上， =60°

（I）证明：M在侧棱 的中点

（II）求二面角 的大小。

解法一：

（I）

作 ‖ 交 于点E，则 ‖ ， 平面SAD

连接AE，则四边形ABME为直角梯形

作 ，垂足为F，则AFME为矩形

设 ，则 ，

由

解得

即 ，从而

所以 为侧棱 的中点

（Ⅱ） ，又 ,所以 为等边三角形，

又由（Ⅰ）知M为SC中点

，故

取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则 ,由此知 为二面角 的平面角

连接 ，在 中，

所以

二面角 的大小为

解法二:

以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz

设 ，则

（Ⅰ）设 ,则

又

故

即

解得 ，即

所以M为侧棱SC的中点

（II）

由 ，得AM的中点

又

所以

因此 等于二面角 的平面角

所以二面角 的大小为

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。

19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望。

分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。

需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。

另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。

解：记 表示事件：第i局甲获胜，i=3,4,5

表示事件：第j局乙获胜，j=3,4

（Ⅰ）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利

因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

由于各局比赛结果相互独立，故

=

=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6

=0.648

（II） 的可能取值为2，3

由于各局比赛结果相互独立，所以

=

=

=0.6×0.6+0.4×0.4

=0.52

=1.0.52=0.48

的分布列为

2 3

P 0.52 0.48

=2×0.52+3×0.48

=2.48

20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

在数列 中，

（I）设 ，求数列 的通项公式

（II）求数列 的前 项和

解：（I）由已知得 ，且

即

从而

……

于是

=

又

故所求的通项公式

（II）由（I）知 ,

=

而 ,又 是一个典型的错位相减法模型，

易得 =

评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

21（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，已知抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点。

（I）求 得取值范围；

（II）当四边形 的面积最大时，求对角线 、 的交点 坐标

分析：（I）这一问学生易下手。

将抛物线 与圆 的方程联立，消去 ，整理得

．．．．．．．．．．．．．（＊）

抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.

由此得

解得

又

所以

考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．

（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点。

设 与 的四个交点的坐标分别为：

、 、 、 。

则直线 的方程分别为

解得点P的坐标为

设 ，由 及（I）知

由于四边形 为等腰梯形，因而其面积

则

将 代入上式，并令 ，得

求导数

令 ，解得 （舍去）

当 时， ； 时， ； 时，

故当且仅当 时， 有最大值，即四边形 的面积最大，故所求的点P的坐标为

22. 本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）

设函数 在两个极值点 ，且

（I）求 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 的区域；

(II)证明：

解

（I）

依题意知，方程 有两个根 ， 等价于

由此得b、c满足的约束条件为

满足这些条件的点 的区域为图中阴影部分，

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标 中的 ，（如果消 会较繁琐）再利用 的范围，并借助（I）中的约束条件得 进而求解，有较强的技巧性。