高考数学椭圆大题高级公式,高考数学椭圆公式

1.求个椭圆的问题

2.马上高考了，数学解析几何椭圆双曲线抛物线这一点都不会啊，哪位高人能教教我能在这得点分

3.有关万有引力数学表达式

4.高考数学：已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为e=√3/3,以原点O为圆心

1.由“....公差为1的等差数列”条件可知，PF1+PF2=(2c+1)+(2c-1)=4c=2a。

所以离心率e=c/a=1/2.

2.设P在第二象限（第二、三、四象限同理）根据余弦定理分别得到：

(PF1)^2=OF1^2+OP^2-2*OF1*OP*cos∠POF1

(PF2)^2=OF2^2+OP^2-2*OF2*OP*cos∠POF2

代入数据即

(2c-1)^2=c^2+28-4√7*c*cos∠POF1

(2c+1)^2=c^2+28+4√7*c*cos∠POF1（POF1和POF2互补，余弦值互为相反数）

两式合并解得c=3，代入标准方程得x^2/36+y^2/27=1

3.我算的是P(2,0)，感觉不太对~

希望能帮到你！

求个椭圆的问题

(Ⅰ)c/a=√3/2且2b^2/a=1且a^2=b^2+c^2

解得a=2,b=1

所以椭圆方程x^2/4+y^2=1

(Ⅱ)设M(2m,n) (n>0,-1<m<1).

则(2m)^2/4+n^2=1 即m^2+n^2=1 (1)

AM方程:nx-2(m+1)y+2n=0,得C(4,3n/(1+m))

BM方程:nx-2(m-1)y-2n=0,得D(4,-n/(1-m))

|CD|=|(3n/(1+m))-(-n/(1-m))|=2n|(2-m)/(1-m^2)|=2n(2-m)/n^2=2(2-m)/n=4

m=2-2n (2)

由(1)(2)解得 m=0,n=1或m=4/5,n=3/5

所以M(0,1)或(8/5,3/5)

(Ⅲ)S1=(1/2)|AB|*n=2n

由(Ⅱ)|CD|=2(2-m)/n

S2=(1/2)|CD|*(4-2m)=2(2-m)^2/n

S1/S2=n^2/(2-m)^2=((n-0)/(m-2))^2

设k=(n-0)/(m-2)

k就是单位圆在x轴上方部分上任一点与(2,0)连接而成直线的斜率.

可求得-√3/3≤k<0

S1/S2=k^2

所以 S1/S2的取值范围是(0,1/3]

希望能帮到你！

马上高考了，数学解析几何椭圆双曲线抛物线这一点都不会啊，哪位高人能教教我能在这得点分

你看看下面的几个典例对你有帮助的:

典型例题

椭圆的定义

例1

过椭圆4x2＋y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2的周长是

[ ]

略解：

∵|AF1|＋|AF2|=2，

|BF1|＋|BF2|=2，

∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|=4，

即|AB|＋|AF2|＋|BF2|=4．

∴选B．

评注：

此题明是求周长，实际上是用椭圆的定义．题中提现了转化的思想．

例2

M点为椭圆上一点，椭圆两焦点为F1，F2．且2a=10,2c=6,点I为△MF1F2

解：

如图，I为△MF1F2的内心，

∴∠1=∠2，

比较①、②，并应用等比定理，得

评注：

此题三步用到了椭圆的定义，内角平分线定理，等比定理．等比定理是桥梁把内角平分线分线段比与椭圆的第一定义联系起来．

例3

已知椭圆两焦点为F1，F2，M点为椭圆上一点(不在直线F1F2上)，∠F1MF2=θ，|F1F2|=2c，|MF1|＋|MF2|=2a．求△MF1F2的面积．

解：

由余弦定理，得

(2c)2=|F1F2|2

=|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos∠F1MF2

=(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cosθ)

=(2a)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cosθ)

评注：

例4

已知方程2(k2－2)x2＋k2y2＋k2－k－6=0表示椭圆，求实数k的取值范围．

解：

按题意，得

评注：

解这种类型的题目，要注意椭圆的两种类型，同时要注意椭圆与圆的区别．

例5

解：

设所求椭圆方程为Ax2＋By2=k，

①

评注：

此题不知道椭圆的类型，因此取这种“模糊”的设法，简化了计算．

例6

分析：

解：

设|PF1|=m，|PF2|=n，m＋n=20，

即m2＋n2－mn=144．

(1)

∴(m＋n)2－3mn=144．

评注：

在上述方法中运用了椭圆的定义和余弦定理，这是解决椭圆中三角形问题时常

求|PF1|·|PF2|的最大值．

解：

∵a=10，

∴|PF1|＋|PF2|=20．

当且仅当|PF1|=|PF2|时“=”号成立，

∴|PF1|·|PF2|的最大值为100．

例7

证

(1)∵P0在椭圆外，

(2)∵P0在椭圆内，

评注：

1．本题涉及的知识点是椭圆方程与坐标概念．

2．这是常用的知识点，了解坐标概念和曲线方程概念即不难证明．

例8

时，求|AM|＋2|MF|的最小值，并求此时点M的坐标．

解析：

本题按常规思路，设M(x，y)，则

又M在椭圆上，y可用x表示，这样|AM|＋2|MF|可表示为x的一元函数，再求此函数的最小值．虽说此法看上去可行，但实际操作起来十分困难，但我们可以由椭圆的第二定义，转化到点到直线的距离来求，如图．

∴|AM|＋2|MF|=|AM|＋d

由于点A在椭圆内，过A作AK⊥l，K为垂足，易证|AK|即为|AM|＋d的最小值，其值为8－(－2)=10

例9

[ ]

A．椭圆

B．双曲线

C．线段

D．抛物线

略解：

即点P(x，y)到定点F(1，1)的距离与到定直线l：x＋y＋2=0的距离的比值

∴点P的轨迹是椭圆，故选A．

评注：

此题很妙：妙在利用椭圆的第二定义，定义不能直接运用，必须进行变形后，才知答案．若利用两边平方解会很麻烦的．

例10

离为

[ ]

A．8

略解：

如图

|PF1|＋|PF2|=2a=10，

∴|PF1|=2．

∴|PF2|=10－|PF1|=10－2=8．

选A．

评注：

此题是椭圆第一定义与第二定义的综合运用．

例11

如图椭圆中心为O，F是焦点，A为顶点，准线l交OA延长线于B，P、Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥OA于F，则椭圆离心率为

[ ]

A．0

B．2

C．2

D．5

答案：

D．

评注：

此题灵活利用离心率、深化对椭圆第二定义的理解．

例12

则有|PF1|=a＋ex0，|PF2|=a－ex0．

证明：

由椭圆第二定义，得

评注：

有的书中把上述结论叫做焦半径公式．按照人民教育出版社出版的教材要求这样做是不科学的，容易陷入单纯记忆公式，忽视椭圆第二定义的理解和应用．由于叙述的方便，后面我们还是用焦半径的提法．但是要注重理解．

实际上，上述结论是椭圆第二定义的延伸，抓住椭圆第二定义，及点与直线位置关系极易推导和记住，使用时，前面冠以“根据椭圆第二定义，得”即可应用．

|PF1|=a＋ex0，|PF2|=a－ex0，

例13

分析：

只要解方程组即可．

此种方法，思路自然，但计算量较大，需要换一个角度，寻求新的解法．

解：

由椭圆第二定义，得

评注：

充分理解椭圆第二定义，可记忆有关结论．

椭圆的几何性质

例1

已知椭圆中心在坐标原点，焦点在同一坐标轴上，离心率e=0.6，且椭圆过点A(5，4)．求椭圆方程．

解：

评注：

注意椭圆方程的两种类型．

例2

已知椭圆方程(1－m)x2－my2=1，求长轴长．

解：

∴椭圆方程为第二类型．

评注：

方程的类型是至关重要的．

例3

[ ]

A．椭圆面积减小，焦点与对应准线距离增大

B．椭圆面积减小，焦点与对应准线距离减小

C．椭圆面积增大，焦点与对应准线距离增大

D．椭圆面积增大，焦点与对应准线距离减小

选B．

评注：

椭圆的形状有扁平一些的，也有圆一些的，怎样才能刻划出它的扁平程度呢？

当e越接近1时(即增大)，c越接近a，从而b越小，因此，椭圆越扁．

如果a不变，则椭圆面积S=πab就越小；焦点与对应准线间距离越小，即焦点向外移动．

当e越接近零时(即减小)，c越接近于零，从而b越大，这时椭圆接近于圆．

如果a不变，则椭圆面积S=πab就越大；焦点与对应准线间距离越大，即焦点向内移动．

注意：上述e的数量的变化，反映了椭圆的扁平程度，如果两焦点与原点重合，即a=b，则c=0时，图形发生质的变化就不再是椭圆，成为圆x2＋y2=a2．

例4

为点M到两焦点F1、F2的距离的等比中项？并说明理由．

解：

设椭圆上存在一点满足题意为P(x0，y0)

左准线l：x=－4，|MN|=|x0＋4|=x0＋4．

若|MN|是|MF1|与|MF2|的等比中项，

由椭圆第二定义，得

因为点M(x0，y0)在椭圆上，故应有－2≤x0≤2，显然横坐标为x0＝－4，

评注：

本题的解法其实质是反证法．

例5

地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆形，太阳在它的一个焦点上，轨道的近日点到太阳的距离是144百万公里，轨道的远日点到太阳的距离是149百万公里，求这轨道的离心率和轨道方程．

解：

以百万公里作为单位长度，如图建立坐标系

∴a－c=144，a＋c=149，

∴a=146.5, c=2.5．

评注：

设P(x0，y0)是椭圆上任一点，则|PF2|=a－ex0，－a≤x0≤－a．

∴(|PF2|)max=a－e·(－a)=a＋c，(|PF2|)min=a－e·a=a－c．

最值问题

例1

求以长轴为一底的椭圆内接梯形的最大面积．

解：

设椭圆方程为

评注：

1．本题涉及的知识点是：椭圆的方程(参数方程)，梯形的面积公式和三角函数的最值的处理方法．

2．最值问题的解法，一般是选择设计变量(恰当的自变量)，建立目标函数(这是一种数学模型)，然后应用函数知识与不等式求目标函数的最值．这里如何建立数学模型是关键，娴熟的数学语言是建立模型的基本工具．函数知识与不等式则是求最值的基础．

例2

解：

过B作BN⊥l于N，过A作AM⊥l于M．

由椭圆的性质，知

评注：

的距离，再根据图形的平几性质就可确定B点使u最小．

例3

椭圆，问M点在何处，所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆的方程．

分析：

椭圆的长轴的长即为椭圆上点到两焦点距离的和．这样，求过直线l上点M所作长轴最短的椭圆，即转化为求直线l上一点，使这点到两焦点F1、F2的距离之和最小．

解法一：

a2=16，b2=12，

∴c2=a2－b2=4．

解法二：

圆应与直线l相切，M为切点，

消去y，得(a2＋b2)x2－8a2x＋16a2－a2b2=0，

∴△=64a4－4(a2＋b2)(16a2－a2b2)=0．

化简得a2＋b2=16．

(1)

∴a2－b2=4．

(2)

由①②联立方程组，得a2=10，b2=6．

评注：

以F1、F2为焦点且过直线l上一点的椭圆中，以与直线l相切的椭圆长轴长最短是因为除切点外，直线l上其它各点均在椭圆外，而椭圆外一点与两焦点距离之和大于2a，这一结论可由平面几何知识得到证明，同理还可证明椭圆内一点两焦点距离之和小于2a．

焦半径问题

例1

解：

exi)(i=1、2、3)．

∴三点的横坐标成等差数列是此点的焦半径成等差数列的充要条件．

评注：

1．本题涉及的知识点是椭圆的焦半径、等差数列和充要条件．

2．只有熟练掌握椭圆焦半径才能顺利通过这类基本题，这说明在掌握标准方程的同时熟练掌握有关元素的重要性．

例2

的距离成等差数列．

(1)求x1＋x2；

(2)证明AC的垂直平分线经过一定点，并求此定点的坐标．

解：

(1)由椭圆方程得半长轴a=5，半短轴b=3，半焦距c=4，根据圆锥曲线统一定义，得

∵|AF|＋|CF|=2|BF|，

故x1＋x2=8．

评注：

1．本题涉及的知识点是：椭圆方程、圆锥曲线的统一定义、中点公式、点斜式、等差数列和直线系方程．

2．根据圆锥曲线的统一定义推出椭圆的焦半径公式是应用|AF|、|BF|、|CF|成等差数列建立含x1、x2方程的不可缺少的数学语言．欲证AC的中垂线过一定点，建立AC中垂线的方程是关键．由于A、C两点是椭圆上的动点，因而AC的中垂线是直线系，求出此直线系的方程，就不难证明其过定点了．

直线与椭圆

例1

(1)有两个公共点；

(2)只有一个公共点；

(3)没有共公点．

解：

∴△=(12k)2－4×9×(6k2－8)=－72(k2－4)．

(1)△＞0即－2＜k＜2时，直线和椭圆有两个公共点．

(2)△=0，即k=－2或k=2时，直线和椭圆只有一个公共点．

(3)△＜0，即k＞2或k＜－2时，直线和椭圆没有公共点．

评注：

“△”法判别直线与椭圆位置关系的一般步聚：

(1)联立方程组．

(2)消元转化为一元二次方程．

(3)计算△=b2－4ac．

(i)当△＞0时，直线和椭圆两个公共点，此时称直线和椭圆相交．

(ii)当△=0时，直线和椭圆有且只有一个公共点．此时称直线和椭圆相切．

(iii)当△＜0时，直线和椭圆没有公共点，此时称直线和椭圆相离．

注意：

在直线和圆的位置关系判别有，有“△”判别法和“d－r”判别法两种，其中“d－r”判别法为最简单，也是常用的方法，在直线和椭圆的位置关系中，只有一种方法，即“△”判别法．

例2

于直线y=4x＋m对称．

解法一：

∴△=(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0．

(1)

设PQ中点为M(x，y)则

(2)

把②代入①，得

解法二：

设P(x1，y2)，Q(x2，y2)是椭圆C上符合条件的两点，M(x，y)是PQ的中点，

两式相减得，3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)=0，

∵x1≠x2，x1＋x2=2x，y1＋y2=2y，

∴M(－m，－3m)．

∵点M应在椭圆C的内部，故

评注：

解此类题要深刻理解对称的意义．

例3

AB之长．

解：

椭圆的右焦点F(1，0)，

设直线l：y=x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1－y2=x1－x2，

评注：

(1)如果此题进一步求△F1AB的面积，如图所示，F1(－1，0)

∴点F1(－1，0)到直线l：y=x－1的距离为

通常求△F1AB的面积还有如下两种求法：

(1)S△F1AB=S△F1F2A＋S△F1F2B，

(2)此题直线l是过椭圆的右焦点，所截得弦是“焦点弦”，对于“焦点弦”除了上述求弦长的方法外，还可考虑|AB|=|AF2|＋|BF2|后面的学习继续研究．

例4

已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x＋1与该椭圆相交于

分析：

题设中没有明确椭圆焦点是在x轴上，还是在y轴上，因此，在选择标准方程形式时，不要明确a＞b还是a＜b，这是其一；另一方面题设中涉及交点P、Q的两个条件，简化计算．

解：

设所求的椭圆的方程为

依题意，点P、Q的坐标满足方程组

将②代入①，得

(a2＋b2)x2＋2a2x＋a2(1－b2)=0．

③

设方程③的两根分别为x1、x2，则直线y=x＋1与椭圆的交点P(x1，x1＋1)、Q(x2，x2＋1)．

整理，得

解x1＋x2与x1x2，得

解之，得

故所求椭圆方程为

评注：

此题是椭圆与韦达定理巧妙结合．

轨迹与综合

例1

已知点P在直线x＝2上移动，直线l过原点并且与OP垂直通过点A(1，0)及点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程，并指出该轨迹的名称与其焦点坐标．

解一：

设Q(x，y)，P(2，t)

∵OP⊥OQ，

∴ty＝－2x． ①

∵Q、A、P三点共线，

即y＝t(x－1)． ②

若t≠0，则由①、②消去t，得

2x2＋y2－2x＝0(y≠0)． (※)

若t＝0，则P(2，0)，l：x＝0．

∴Q(0，0)也满足(※)式．

综上所述，所求动点Q的轨迹方程为

解二：

当l⊥x轴时，则Q(0，0)．

当l不垂直于x轴时，设l：y＝kx，其中k≠0．

解方程组

设Q(x，y)，则y＝kx． ①

由①、②联立，消去k，得2x2＋y2－2x＝0(y≠0)．

又Q(0，0)也适合上式，

∴点Q的轨迹方程为

轨迹名称与焦点坐标同解一

评注：

点Q的运动可看作点P的移动引起的，因此可选点P的纵坐标作参数描述点Q的运动规律；点Q的运动也可看作直线l绕原点运动引起的，因此可选择直线l的倾角或斜率建立Q的横纵坐标之间的联系．

例2

又点Q在OP上并且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2(如图2)．当点P在直线l移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

分析：

所给等式|OQ|·|OP|＝|OR|2除涉及到我们需要的动点Q之外，还含有动点P与R，为得到Q的轨迹方程，就应建立P、R与Q坐标之间的关系，这可由O、Q、P、R四点共线以及点R与椭圆的结合关系，点P与直线的结合关系予以确定；利用∠xOP＝θ来描述Q、R、P的坐标也是一种好方法；如果把Q、P、R投影到x轴上，则可把题设等式化为

解一：

由题设知点Q不在原点．设P(xP，yP)、R(xR，yR)及Q(x，y)，其中x、y不全为0．

当点P不在y轴上时，由点R在椭圆上及O、Q、R三点共线，得

解之，得

由点P在直线l上及O、Q、P三点共线，得

当点P在y轴上时，P(0，8)、R(0，4)、Q(0，2)，易验证①、②、③、④均成立．

由题设|OQ|·|OP|＝|OR|2，得

将①、②、③、④皆代入上式，得

∵x与xP同号，y与yP同号；

∴由③、④知2x＋3y＞0

解二：

由题设知点Q不在原点．设P(xP，yP)、R(xR，yR)及Q(x，y)，其中x、y不全为零．

设∠xOP＝α，则有以下各式：

xP＝|OP|·cosα，yP＝|OP|·sinα；

xR＝|OR|·cosα，yR＝|OR|·sinα；

x＝|OQ|·cosα，y＝|OQ|·cosα．

由上式及题设等式|OQ|·|OP|＝|OR|2，得

由点P在直线l上，点在椭圆上，得

将①、②、③、④代入⑤、⑥得

整理，得

平行于x轴的椭圆，去掉原点O(0，0)．

解三：

依题设点Q不在原点．设P(xP，yP)、R(xR，yR)、Q(x，y)，其中x、y不同时为零．

∵ |OQ|·|OP|＝|OR|2

依题意知x、xP与xR同号，y、yP与yR同号，所以

由于点P(xP，yP)在直线l上，及O、P、Q三点共线，得

把①、②代入(※)式，得

轴平行于x轴的椭圆，去掉原点O(0，0)．

评注：

本题是1995年全国高考数学试题理科压轴题，这一年的文科试题是它的姊妹题：

知点Q在OP上并且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2．当点Q在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

例3

沿x轴折成直二面角，求AB的连线与x轴所成的角．

解：

过B引BC‖OX交椭圆于C，B、C关于y轴对称，A、C关于x轴对称

∴|AD|＝|DC|且AD、DC均垂直于x轴．

坐标平面折起后在同一平面内的点或线，位置关系不变，仍有|AD|＝|DC|且AD、DC均垂直于x轴．

∠ADC是二面角的平面角，

AD⊥平面BOC如图3所示，

∵BC⊥CD，根据三垂线定理，得BC⊥AC．

在Rt△ABC中|BC|同折前为2|OA|cosα，

评注：

(1)本题涉及的知识点是：椭圆方程、三角函数概念与直角三角形边角关系、二面角的平面角、三垂线定理和异面直线所成的角．

(2)这是一道解析几何与立体几何的综合题，根据题设画出直观图，以空间想象力，折起之后，在同一平面内的点与直线的相对位置不变，在不同平面内的点的相对位置改变了．这是判断位置关系时应予注意的．

有关万有引力数学表达式

有一套公式。参考书上应该有，我忘记了，现在都大学了。

这个公式一下可以列出好多的关系式，我印象中好像是6~7个吧，几乎可以推出来很多的各个点之间的关系。

先认真看懂各线点的关系，然后列式子。不要想怎么求解，就先把他们的关系式列出来，然后再通过各个关系式再选取有用的关系，这时候再求解。先不要带数字，用字母表示，这样可以更好的看懂关系。

高考数学：已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为e=√3/3,以原点O为圆心

Kepler 三定律清楚地描述了行星运行的简单模式。一个自然的问题就是：「为什麼行星会以太阳为其一焦点的椭圆轨道运行？」牛顿对这个问题给了一个直接的答案，即行星与太阳之间存在满足平方反比定律 注2 (inverse square law) 的引力。而且这种引力同样地存在于任何两个物体之间，不论是火星与太阳或是苹果与地球，都是同一种引力；这就是牛顿著名的万有引力定律。现在让我们以现今的符号体系来重新看看牛顿这个对后世科学发展有著深远影响的工作。首先我们需要对椭圆的几何性质有一定的了解。

（一）椭圆面积公式：椭圆面积

设椭圆的长、短径分别为 2a, 2b 。现构造两个圆，半径分别为 a, b，并把椭圆夹于两者之间，如 [图 8-21] 所示。

[ 图 8-21 ]

考虑图中那条过 P(x,y) 的窄条面积。由于 , ，在椭圆内的窄条面积和整条窄条面积的比率约为：

这是一个与 P(x,y) 位置无关的常数。当把所有这种窄条的面积加起来时，便得

（二） 椭圆的极坐标方程式

[ 图 8-22 ]

如 [图 8-22] 所示，椭圆上一点 P 有 (x,y) 和 两种表示方法，而 (x,y) 和 之间的转换可以用

来达成。把上面转换方法代入熟悉的椭圆坐标方程式 ，即得

因此 （ 是负值，它会以 P' 来描绘出椭圆）。为了方便以后的计算，我们取其颠倒式为椭圆极坐标方程式：

（三）第二定律的数理分析

以太阳（焦点）为中心，极坐标 表达行星位置。当 θ 增大到 时，太阳与行星的连线所扫过的面积为 ，如 [图 8-23] 所示

[ 图 8-23 ]

运用第二定律，这个面积的改变速率为常数，即：

注意在上面我们只是用了微积分的记号和想法，并没有用到深奥技巧。

[注]：从物理学观点来看，第二定律是有物理意义的。如 [图 8-24] 所示， 是动点 P 的位置向量， 是其速度向量：

[ 图 8-24 ]

是平行四边形 OPQR 的面积。但从物理学观点来看， 是物体相对于 O 点的角动量，因为是平面（椭圆）运动，此向量是恒垂直于平面的，所以由第二定律亦可得知角动量在行星运行中是不变的（这也是人类理性文明中首次接触到角动量守恒律）。再者，

所以引力 的作用方向是和 反向平行。

（四）温习： 和 的微分

从圆的简单几何性质和简单的物理观念，我们很容易便得出 和 的微分。其简单的推导如下：

[ 图 8-25 ]

如 [图 8-25] 所示，动点 P 在单位圆上作单位速率运动。用熟知的圆的参数表示方法，P 的坐标可写成 。另一方面，从几何观点得知速度向量应是垂直于半径，所以把图中的 平移至 再旋转 至 。这样，速度向量 在 , 的分量为：

但从物理学观点来说，速度向量 正是：

因此即得下面熟悉的公式：

（五）向心加速的公式：

上述公式只需对坐标 , 直接微分便可得出。计算过程大致如下：

因此

由（四）知引力的方向是平行于位置方向 ，所以 应该是 0，并只余下向心加速 。

（六）平方反比定律的证明（第一、第二定律的综合分析）

要证明引力是满足平方反比定律，我们只需验证 是否为一常数。先对椭圆的极坐标方程式微分：

在上式用了（三） 。同样地在下面的计算中，我们尽可能分离出 这一项，然后换成常数 。

因此 。

（七）由行星引力到万有引力

当牛顿想再进一步把行星与太阳之间的引力推广到任何物体与物体之间的引力，他遇到一个困难，使这位科学史上的巨人困扰了数年。由于行星与太阳之间的距离很大，所以在计算中可把行星和太阳当作两个质点，即可以设质点集中了整个球体的质量；但当推广至任何物体与物体之间的情形，如苹果与地球，则便不可随便地把地球当作为一个质点了。牛顿遇到的困难，就是他不能证明的确可以把地球当作为质点的猜想。即使在 1684 年他的好友 Halley（哈雷）力邀牛顿发表已得的结果，他仍不愿意注3 发表。到了 1686 年，他终于成功地证明了上述猜想，即一个密度只随著到球心距离而变化的球体，在吸引球外一个质点时，所作用的力就像设全部质量都集中在球心一样。在这年他写信给 Halley 表示同意写出他的工作，这就是在次年 (1687) 出版的科学巨著《自然哲学 注4 的数学原理》(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) 。

牛顿在书中所给的证明是很繁复的。在这里，我们给出另一个证明，它巧妙地运用了球的几何特性而大大简化了计算过程。

对于一个球面的最自然、最对称的点当然就是球心。但是在研讨球面与球外一点的互相作用时，从几何观点来看，最自然、最对称的点就不再是球心，而是 [图 8-26] 的 P' 点（这是 P 相对于球面的反射对称点）。

[ 图 8-26 ]

设球体其中一层薄壳的半径为 R，面密度为 ρ，薄壳质量为 ，球外质点 P 的质量为 m 。考虑在薄壳上的一小片面积 dA 作用于 P 的引力 。因薄壳对于 OP 是旋转对称， 垂直于 OP 的分量会被对称小片 dA' 所作用力抵消，所以只需考虑 在 OP 方向的分量：

在直线段 上选 P' 使得 ，并以 P' 为心构造一个单位球面。令 P' 连向 dA 的射线在这单位球面上的影象为 。

[ 图 8-27 ]

如 [图 8-27] 所示，dA 和 之间有一个简单的关系：

因此，整个薄壳作用于 P 的力就是

因此这层薄壳作用于 P 的力就相等于将全部质量 M 集中于 O 而作用于 P 的力。再将所有薄壳作用的力加起来，便得所需之公式。

这也就是由 Kepler 行星运行定律的数理分析自然而然地推导出牛顿万有引力定律的一个简朴详尽的叙述。它就是牛顿的科学巨著 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 中所讨论的主要结果。它也自然是后学后进应当心领神会，并从此体会人类理性文明世代相承，继往开来的精要和精神。

（Ⅰ）由圆与直线相切可知：圆心(0，0)到直线x-y+2=0距离为b。 即b=2/√2=√2。所以b?=2

e=c/a=√3/3，即c?/a?=1/3，又a?=b?+c?，所以(a?-b?)/a?=1/3，求出a?=3。

所以椭圆方程为x?/3+y?/2=1。

（Ⅱ）由题意可设P(x?，y?)，M(x?，y?)。∣OP∣/∣OM∣=λ。即OP?/OM?=λ?。

OP?=x?+y?，OM?=x?+y?。又x?/3+y?/2=1，所以y?=2-2x?/3。代入OP?/OM?=λ?得：

[(3λ?-1)/6]x?+(λ?/2)y?=1。因为√3/3≤λ≤1。

当λ=√3/3时，(3λ?-1)/6=0，此时有y?=±√6.。所以轨迹为两条与x轴的直线。

当√3/3＜λ≤1时，(3λ?-1)/6＞0，λ?/2＞0，且(3λ?-1)/6＜λ?/2。所以轨迹为以x轴为长轴，y轴为短轴的椭圆。